Normaali (Bell-käyrä) Jakautuminen

Tietosarjat (kuten 100 ihmisen korkeus, luokkien 45 oppilaan saamat arvosanat jne.) Ovat yleensä useita arvoja samassa tietopisteessä tai samassa määrin. Tätä datapisteen jakamista kutsutaan normaaliksi tai kellokäyräjakaumaksi. Esimerkiksi 100 yksilön ryhmässä 10 voi olla alle 5 metriä pitkä, 65 voi olla 5-5,5 metriä ja 25 voi olla yli 5,5 metriä. Tämä alueittain sidottu jakelu voidaan piirtää seuraavasti:

Samalla tavalla datapisteet, jotka on piirretty kaavioiden suhteen tietylle datajoukolle, voivat muistuttaa erilaisia ​​jakeluvaihtoehtoja. Kolme yleisimpiä on vasemmalla, oikealla linjalla ja jumittuneella jakaumalla:

Huomaa punaisen trendilinjan jokaisessa näissä kaavioissa. Tämä osoittaa suunnilleen tiedon jakamisen trendin. Ensimmäinen "LEFT Aligned Distribution" tarkoittaa, että suurin osa datapisteistä kuuluu alemmalle alueelle. Toisessa "RIGHT aligned Distribution" -graafissa suurin osa datapisteistä kuuluu alueen korkeimpaan päähän, kun taas viimeinen "Jumbled Distribution" on sekalainen tietojoukko ilman selkeää suuntausta.

On paljon tapauksia, joissa datapisteiden jakautuminen on yleensä noin keskiarvoa ja tämä kaavio näyttää täydellisen normaalijakauman, joka on yhtä tasapainoinen molemmilta puolilta ja suurin määrä datapisteitä keskittynyt keskelle.

Tässä on täydellinen, normaalisti hajautettu tietojoukko.

Keskiarvo tässä on 50, jolla on suurin määrä datapisteitä, ja jakelu nousee tasaisesti kohti äärimmäisiä loppuarvoja 0 ja 100, joilla on pienin määrä datapisteitä. Normaalijakauma on symmetrinen keskiarvon ympärillä puolet arvoista kummallakin puolella.

Paljon todellisia esimerkkejä sopii kellokäyrän jakautumiseen:

• Laita reilun kolikon monta kertaa (sanoen 100 kertaa tai enemmän) ja saat tasojen ja perän normaalijakauman.
• Rullaa pari reilua noppaa monta kertaa (sanoen 100 kertaa tai enemmän) ja tulos on tasapainoinen, tavanomainen jakautuminen, joka keskittyy numeron 7 ympärille ja joka tasoittaa tasaisesti kohti äärimmäisiä arvoja 2 ja 12.
• yksilöiden korkeus huomattavan suuressa koossa ja luokan ihmisten saamat arvosanat noudattavat normaalia jakautumismallia.
• Rahoituksessa valuuttakurssien, hintaindeksien ja osakekurssien logaritmienmuutokset oletetaan olevan normaalisti jaettuina.

Suhde rahoitukseen ja investointeihin

Kaikilla investoinneilla on kaksi näkökohtaa: riski ja tuotto. Sijoittajat etsivät pienintä mahdollista riskiä mahdollisimman suuresta tuotosta. Normaali jakauma ilmaisee nämä kaksi näkökohtaa keskiarvona tuottoihin ja riskin keskihajontaan.(Lisätietoja: Keskimääräinen varianssianalyysi .)

Keskimääräinen tai Odotettu arvo

Tietty osakehinnan keskiarvo voi olla 1,5% päivittäin - eli keskimäärin se kasvaa 1,5 prosenttia. Tämä keskimääräinen arvo tai odotettu arvo, joka ilmaisee tuoton, voidaan saavuttaa laskemalla keskimäärin riittävän suurella tietosarjalla, joka sisältää tämän päivän osakekohtaiset päivittäiset hinnanmuutokset. Mitä korkeampi keskiarvo on, sitä parempi.

Standardipoikkeama

Standardipoikkeama ilmaisee määrän, jolla arvot poikkeavat keskimäärin keskiarvosta. Mitä korkeampi standardipoikkeama, sitä suurempi riski on investointi, koska se lisää epävarmuutta.

Tässä on graafinen esitys:

Näin ollen tavallisen jakautumisen graafinen esitys keskiarvon ja keskihajonnan kautta mahdollistaa sekä tuottojen että riskien edustuksen selvästi määritellyllä alueella.

Se auttaa tietämään (ja varmuudella varmasti), että jos jokin tietosarja seuraa normaalia jakeluvälinettä, sen keskiarvo antaa meille mahdollisuuden tietää, mitkä odotetut odotukset tulevat ja sen keskihajonta antaa meille mahdollisuuden tietää, että noin 68% arvot ovat 1 standardipoikkeaman sisällä, 95% kahden standardipoikkeaman sisällä ja 99% arvoista 3 standardipoikkeaman sisällä. Tietokanta, jonka keskiarvo on 1. 5 ja keskihajonta 1, on paljon suurempi riski kuin toisella tietokokonaisuudella, jonka keskiarvo on 1. 5 ja keskihajonta on 0. 1.

Nämä arvot tiedetään kullekin valitulle hyödykkeelle (eli varastot, joukkovelkakirjat ja varat) tekevät sijoittajasta tietoisia odotetuista tuotto- ja riskeistä.

Tätä konseptia on helppo soveltaa, ja se muodostaa riskin ja tuoton yhden ainoan osakekannan, joukkovelkakirjalainan tai rahasto-osuuden osalta. Voidaanko tämä laajentaa useisiin omaisuuseriin?

Yksilöt aloittavat kaupankäynnin ostamalla yhden varaston tai joukkovelkakirjalainan tai sijoittamalla rahastoon. Vähitellen he pyrkivät lisäämään omistuksiaan ja hankkimaan useita varoja, varoja tai muita varoja, mikä luo salkun. Tässä inkrementaalisessa skenaariossa yksilöt rakentavat salkkuja ilman strategiaa tai paljon ennakkokäsityksiä. Ammatilliset rahastonhoitajat, kauppiaat ja markkinatalouden päättäjät noudattavat systemaattista tapaa rakentaa oma salkku käyttäen matemaattista lähestymistapaa, jota kutsutaan nykyaikaisen salkun teorian (MPT), joka perustuu "normaalin jakelun käsitteeseen. "

Moderni salkun teoria

Moderni salkun teoria tarjoaa systemaattisen matemaattisen lähestymistavan, jonka tavoitteena on maksimoida salkun odotettu tuotto tietystä salkun riskistä valitsemalla eri omaisuuserät. Vaihtoehtoisesti se tarjoaa myös riskin minimoimisen tietyllä odotetun tuoton tasolla.

Tämän tavoitteen saavuttamiseksi portfolioon sisällytettäviä varoja ei pitäisi valita pelkästään omien yksilöllisten ansioiden perusteella vaan sen sijaan, miten kukin omaisuuserä toimii suhteessa muihin salkun omaisuuseriin.

Pähkinänkuoressa MPT määrittelee, miten parhaiten saadaan aikaan salkun hajauttaminen parhaiden mahdollisten tulosten saavuttamiseksi: suurin mahdollinen tuotto hyvälle tasolle tai minimaalinen riski halutulle tuoton tasolle.

Building Blocks

MPT oli niin vallankumouksellinen käsite, kun se otettiin käyttöön, että sen keksijät voittivat Noble-palkinnon. Tämä teoria antoi onnistuneesti matemaattisen kaavan, joka ohjaa investointien monipuolistamista.

Monipuolistaminen on riskienhallintatekniikka, joka poistaa riskit "kaikki munat yhdestä korista" sijoittamalla ei-korreloituihin kantoihin, sektoreihin tai omaisuusluokkiin. Ihannetapauksessa yhden omaisuuserän myönteinen tulos salkussa purkaa muiden omaisuuserien negatiivisen tuloksen.

Salkun keskimääräinen tuotto, jolla on n eri omaisuutta, lasketaan osuuksien painotettu yhdistelmä. Tilastolaskelmien luonteen ja normaalin jakautumisen perusteella lasketaan kokonaissalkun tuotto (R _p ) seuraavasti:

summa (Σ) jossa w _i on suhteellinen paino omaisuus i salkussa, R _i on omaisuuserän i tuotto (keskiarvo).

Salkun riski (tai standardipoikkeama) on toiminto korreloitujen varojen, kaikkien varallisuusparien (suhteessa toisiinsa pari). Tilastollisten laskelmien ja normaalin jakauman luonteen vuoksi kokonaisriskin riski (Std-dev) _p lasketaan seuraavasti:

missä cor-cof on korrelaatiokerroin varojen i ja j, ja sqrt on neliöjuuri.

Tämä huolehtii kunkin hyödykkeen suhteellisesta suorituskyvystä suhteessa toisiinsa.

Vaikka matemaattisesti monimutkainen ilmenee, tässä sovellettu yksinkertainen käsite sisältää ei pelkästään yksittäisten varojen keskihajonnat vaan myös niihin liittyvät suhteet toisiinsa nähden.

Hyvä esimerkki on saatavilla Washingtonin yliopistosta.

Pika-esimerkki

Miettikokeena kuvittelemme, että olemme salkunhoitaja, jolle on annettu pääomaa ja jonka tehtävänä on päättää, kuinka paljon pääomaa olisi kohdennettava kahteen käytettävissä olevaan omaisuuteen (A & B) tuotto on suurin ja riski on pienin.

Saatavilla on myös seuraavat arvot:

R _a = 0. 175

R _b = 0. 055

(Std-dev) a _{= 0. 258} (Std-dev)

b _{= 0. 115} (Std-dev)

ab _{= -0. 004875} (Cor-cof)

ab _{= -0. 164} Alkaen yhtä suuremmasta 50-50 kohdasta kullekin omaisuudelle A & B, R

p _{laskee arvoon 0. 115 ja (Std-dev)} p _{tulee 0. 1323 Yksinkertainen vertailu kertoo, että tämän 2 omaisuuserän tuotto, sekä tuotto että riski ovat puoliväliin kunkin omaisuuserän yksittäisten arvojen välillä.} Tavoitteenamme on kuitenkin parantaa salkun tuottoa pelkästään yksittäisten omaisuuserien keskiarvon perusteella ja pienentää riskiä niin, että se on pienempi kuin yksittäisten omaisuuserien keskiarvo.

Otetaan nyt oma pääomaosuus 1. 5. pääomaosuus omaisuuserästä A ja -0. 5 pääomaa kohden varallisuuserää B. (Negatiivinen pääoman kohdentaminen tarkoittaa lyhentämistä, että varastosta ja pääomasta saadut varat käytetään muiden omaisuuserien ylijäämän ostoon positiivisella pääoman allokoinnilla eli toisin sanoen oikaisemme varaston B 0: lle.5 kertaa pääomaa ja käyttävät näitä rahaa ostamalla A: ta summalle 1. 5 pääomaa.)

Näiden arvojen avulla saadaan R

p _{0. 1604 ja (Std-dev) < p} kuin 0. 4005. _{Samoin voimme jatkaa eri kohdistamispainojen käyttämistä A: n ja B: n omaaville ja saapua eri Rp- ja (Std-dev) p-sarjoille. Halutun tuoton (Rp) mukaan voidaan valita paras hyväksyttävä riskin taso (std-dev) p. Vaihtoehtoisesti halutulle riskitasolle voidaan valita paras käytettävissä oleva tuotto. Joka tapauksessa, tämän matemaattisen mallisalkun mallin kautta, on mahdollista saavuttaa tavoite luoda tehokas salkku haluttuun riski- ja tuotto-yhdistelmään.} Automaattisten työkalujen käyttö mahdollistaa helposti ja tasaisesti havaitut parhaat mahdolliset kohdennetut mittasuhteet helposti ilman tarvittavia pitkiä manuaalisia laskutoimituksia.

Tehokas rajapinta, Capital Asset Pricing Model (CAPM) ja omaisuuden hinnoittelu MPT: n avulla kehittyvät myös samasta normaalista jakamismallista ja ovat laajennuksia MPT: lle.

MPT: n haasteet (ja taustalla oleva Normaalijakauma):

Valitettavasti mikään matemaattinen malli ei ole täydellinen, ja kullakin on puutteita ja rajoituksia.

Perusolettama siitä, että osakekurssin tuotot noudattavat normaalia jakelua itseään, kyseenalaistetaan yhä uudelleen. On riittävää empiiristä näyttöä tapauksista, joissa arvot eivät noudata oletettua normaalia jakautumista. Monimutkaisten mallien asettaminen tällaisiin oletuksiin saattaa johtaa tuloksiin suurilla poikkeamilla.

Jatkossa MPT: hen, korrelaatiokerroin ja kovarianssi pysyvät kiinteinä (historiallisiin tietoihin perustuvat) laskelmat ja oletukset eivät välttämättä tue tulevia odotettuja arvoja. Esimerkiksi joukkovelkakirjalainat ja osakemarkkinat osoittivat täydellistä korrelaatiota Yhdistyneen kuningaskunnan markkinoilla vuosina 2001-2004, jolloin molempien omaisuuserien tuotot laskivat samanaikaisesti. Todellisuudessa käänne on havaittu pitkiä historiallisia ajanjaksoja ennen vuotta 2001.

Sijoittajien käyttäytymistä ei oteta huomioon tässä matemaattisessa mallissa. Verot ja transaktiokustannukset jätetään huomiotta, vaikka oletetaan, että osakeomistuksen jako ja mahdollisuus lyhentää omaisuuseriä.

Todellisuudessa mikään näistä oletuksista ei voi olla totta, mikä tarkoittaa, että toteutuneet taloudelliset tuotot voivat poiketa merkittävästi odotetuista voitoista.

Bottom Line:

Matemaattiset mallit tarjoavat hyvän mekanismin jonkin muuttujan kvantifioimiseksi yhdellä, seurattavalla numerolla. Mutta oletusten rajoitusten vuoksi mallit voivat epäonnistua. Normaalijakauma, joka muodostaa Portfolion teorian, ei välttämättä koske osakkeita ja muita rahoitusvarojen hinnoittelumalleja. Salkun teorian sinänsä on paljon oletuksia, joita on syytä tarkastella kriittisesti ennen merkittävien taloudellisten päätösten tekemistä.